最偉大物理定理之一:沒(méi)有它,近百年物理突破無(wú)從談起

來(lái)源：環(huán)球科學(xué)ScientificAmerican

 歷史上，很多女性科學(xué)家都做出了杰出的貢獻(xiàn)。艾米·諾特（Emmy Noether）無(wú)疑是特別的。在她所處的年代，社會(huì)給予她的只有障礙，但她依然發(fā)現(xiàn)了物理學(xué)上最偉大的定理之一。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“她是從女性接受高等教育后出現(xiàn)的最富創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才?！比欢苌儆腥酥浪?。諾特定理連接了兩個(gè)非常重要的概念：守恒定律和自然界中的對(duì)稱性。100年后的今天，諾特定理依然是已知物理學(xué)的基礎(chǔ)。

 1918年，艾米·諾特發(fā)表了論文 Invariante Variationsprobleme，她在論文中證明了諾特定理。（圖片來(lái)源：Wikipedia）??1918年，艾米·諾特發(fā)表了論文 Invariante Variationsprobleme，她在論文中證明了諾特定理。（圖片來(lái)源：Wikipedia）

 一個(gè)夏日的傍晚，倘若一位游客到訪上世紀(jì)20年代數(shù)學(xué)世界的中心——德國(guó)哥廷根，他很可能會(huì)從弗里德蘭德大街（ Friedl?nder Way）的一間公寓里，聽(tīng)到聚會(huì)傳來(lái)的喧囂聲。透過(guò)窗戶，這位游客瞥見(jiàn)一群學(xué)者。紅酒在杯中流動(dòng)，空氣在嗡嗡作響，談話集中在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題上。這位游客最終可能會(huì)聽(tīng)到一個(gè)女人的笑聲，她便是艾米·諾特，一個(gè)富有創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才。

 記住這個(gè)名字：艾米·諾特

 1882年，諾特出生于德國(guó)埃爾蘭根的一個(gè)數(shù)學(xué)家庭，是數(shù)學(xué)家馬克斯·諾特（Max Noether）的女兒。小時(shí)候的諾特?cái)?shù)學(xué)天賦并不明顯，但卻可以解決其他小孩無(wú)法解決的問(wèn)題。在諾特父親執(zhí)教的埃爾蘭根大學(xué)，女性是被禁止成為正式學(xué)生的，但她們可以在教授的允許下旁聽(tīng)。1904年，當(dāng)這樣的規(guī)定改變時(shí)，諾特很快入學(xué)，并在1907年獲得了博士學(xué)位。

 然而，作為一名女性，諾特很難得到一個(gè)有收入的學(xué)術(shù)職位。因此，在獲得博士學(xué)位后，她從事了數(shù)年的無(wú)薪工作。1922年，她在個(gè)哥廷根大學(xué)收獲了一個(gè)“非同尋?！钡拿u(yù)教授頭銜，與那些“尋?！苯淌陬^銜不同，她的教授席位是非終身的、擁有部分內(nèi)部行政權(quán)限的、且沒(méi)有報(bào)酬的。直到1923年，她才拿到薪水。哥廷根大學(xué)的一位著名數(shù)學(xué)家Hermann Weyl表示：“在她身邊占據(jù)這樣一個(gè)優(yōu)越的位置，我很羞愧，她是我所知道的在各方面都比我優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家?！?

 但諾特從容地接受了這些不公的對(duì)待。她所散發(fā)的人格魅力，使她深受其他人的愛(ài)戴和尊敬。10年后，諾特被納粹領(lǐng)導(dǎo)的政府驅(qū)趕，因?yàn)樗仟q太人，被懷疑持有左翼政治信仰。從此，人們?cè)僖矡o(wú)法在弗里德蘭德大街聽(tīng)到數(shù)學(xué)家聚會(huì)時(shí)傳來(lái)的歡聲笑語(yǔ)。

 1935年，在她前往美國(guó)賓夕法尼亞州的Bryn Mawr學(xué)院工作的兩年后，她死于手術(shù)并發(fā)癥，享年53歲。當(dāng)諾特去世時(shí)，愛(ài)因斯坦在《紐約時(shí)報(bào)》上寫(xiě)道：“她是從女性接受高等教育后出現(xiàn)的最富創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才。”

 盡管艾米·諾特做出了非常巨大貢獻(xiàn)，但鮮有人知。（圖片來(lái)源：The Granger Collection/Topfoto）

 盡管大多數(shù)人從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)諾特，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家對(duì)她卻從不吝惜贊美之詞。她解決了愛(ài)因斯坦新發(fā)現(xiàn)的引力理論——廣義相對(duì)論中一個(gè)令人困擾的難題。在這個(gè)過(guò)程中，她證明了一個(gè)革命性的定理，為當(dāng)時(shí)所知的物理學(xué)提供了一個(gè)統(tǒng)一的視角，并為此后幾乎所有重大的基本發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。諾特的深刻洞見(jiàn)，徹底地改變了物理學(xué)家研究宇宙的方式。

 自諾特在1918年發(fā)表她的定理以來(lái)，已經(jīng)過(guò)去了整整一個(gè)世紀(jì)，但該定理的重要性卻一直持續(xù)到今天。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主弗蘭克·維爾切克（Frank Wilczek）說(shuō)：“諾特定理一直是20世紀(jì)和21世紀(jì)物理學(xué)的指路明燈?！?

 除了諾特定理外，她還開(kāi)創(chuàng)了一門(mén)叫做“抽象代數(shù)”的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)家Nathan Jacobson曾說(shuō)過(guò)：“艾米·諾特是本世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)家之一。抽象代數(shù)的發(fā)展是20世紀(jì)數(shù)學(xué)最矚目的創(chuàng)新之一，這在很大程度上要?dú)w功于她——在發(fā)表的論文、講座以及對(duì)同時(shí)代人的個(gè)人影響中?！?在數(shù)學(xué)上，諾特的思想是如此突出，以至于她的名字成了一個(gè)形容詞。在許多數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，都可以見(jiàn)到諾特環(huán)（Noetherian rings）、諾特群（Noetherian groups）和諾特模（Noetherian modules ）。

 守恒和對(duì)稱

 諾特發(fā)現(xiàn)了物理學(xué)中兩個(gè)重要概念之間的聯(lián)系：守恒定律和對(duì)稱性。守恒定律——例如能量守恒定律——說(shuō)的是一個(gè)特定的量必須保持恒定。無(wú)論我們?nèi)绾闻?，能量都不能被?chuàng)造或毀滅。從計(jì)算一個(gè)球滾下山坡的速度到理解核聚變的過(guò)程，能量守恒的確定性可以幫助物理學(xué)家解決許多問(wèn)題。

 那么，什么是對(duì)稱性呢？Weyl描述了一個(gè)思考這個(gè)概念的簡(jiǎn)單方法：如果你對(duì)一個(gè)物體進(jìn)行某些操作，在這些操作完成之后，它看起來(lái)和之前是一樣的，那么這個(gè)物體就是對(duì)稱的。例如，球體是完全對(duì)稱的：無(wú)論你朝哪個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)球體，它看起來(lái)都是一樣的。同樣地，對(duì)稱性也普遍存在于物理學(xué)定律中：物理方程在時(shí)間或空間的不同位置不會(huì)改變。

 諾特定理宣稱，每一個(gè)這樣的對(duì)稱性都有一個(gè)相關(guān)的守恒定律，反之亦然。能量守恒與這樣一個(gè)事實(shí)有關(guān)，那就是物理規(guī)律在昨天或今天都是一樣的（時(shí)間對(duì)稱性）。同樣地，動(dòng)量守恒與物理規(guī)律在這里或宇宙的任何地方都是一樣的這一事實(shí)有關(guān)（空間對(duì)稱性）。

 諾特定理（Noether‘s Theorem）聯(lián)系了物理學(xué)中的兩個(gè)重要概念：對(duì)稱性（Symmetry）和守恒（Conservation）。（圖片來(lái)源：Scott Greenberg）

 到了20世紀(jì)下半葉，諾特定理成為了粒子物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。標(biāo)準(zhǔn)模型描述了微觀尺度的世界，并預(yù)言了希格斯玻色子的存在。今天，物理學(xué)家在譜寫(xiě)新理論時(shí)，仍然依賴于諾特定理對(duì)稱性作為指導(dǎo)原則

 對(duì)稱性本身就具有吸引力。一些研究報(bào)告說(shuō)，人類發(fā)現(xiàn)對(duì)稱的臉比不對(duì)稱的臉更漂亮。臉的兩半幾乎是彼此的鏡像，這一特性被稱為反射對(duì)稱。在藝術(shù)作品中，我們更是經(jīng)?？吹綄?duì)稱性的出現(xiàn)，比如馬賽克、紡織品和彩色玻璃窗等。大自然也是如此：一片典型的雪花在旋轉(zhuǎn)60度后，看起來(lái)是一樣的。類似的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性出現(xiàn)在花朵、蜘蛛網(wǎng)和海膽中等等。

 但諾特定理并不直接適用于這些熟悉的例子。因?yàn)槲覀冊(cè)谥車澜缈吹降膶?duì)稱性是不連續(xù)的，它們只適用于特定的值，例如，雪花的旋轉(zhuǎn)角度為60度。然而，與諾特定理相關(guān)的對(duì)稱性是連續(xù)的：無(wú)論在空間或時(shí)間上移動(dòng)多遠(yuǎn)，它們都是成立的。

 其中一種連續(xù)對(duì)稱性被稱為平移對(duì)稱（translation symmetry），意思是說(shuō)物理定律不隨空間中的位置而變化，它在這里、哪里、任何地方都是一樣的。

 與每一個(gè)連續(xù)對(duì)稱相關(guān)的守恒定律是物理學(xué)的基本工具。在物理課上，學(xué)生們被教導(dǎo)能量總是守恒的。當(dāng)一個(gè)臺(tái)球撞擊另一個(gè)臺(tái)球時(shí)，第一個(gè)臺(tái)球的運(yùn)動(dòng)能量就會(huì)被分散：有一些傳到第二個(gè)臺(tái)球的運(yùn)動(dòng)，有一些產(chǎn)生聲音或熱量，有一些能量則留在第一個(gè)球上。但無(wú)論如何，總能量保持不變。動(dòng)量也是如此。

 這些規(guī)則被當(dāng)作死記硬背的事實(shí)來(lái)教授，但它們的存在背后是有數(shù)學(xué)原因的。根據(jù)諾特定理，能量守恒來(lái)自于時(shí)間的平移對(duì)稱性。比如火箭發(fā)射會(huì)將燃料中的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和勢(shì)能，由于時(shí)間的對(duì)稱性，因此總能量保持不變。同樣地，動(dòng)量守恒源自于空間中的平移對(duì)稱性。例如，在牛頓擺中，當(dāng)一個(gè)球擊中另一個(gè)時(shí)，另一端的球會(huì)向外飛，保持動(dòng)量守恒。這是為什么？因?yàn)榭臻g的對(duì)稱性。而角動(dòng)量守恒則是從旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（即物理規(guī)律在空間旋轉(zhuǎn)時(shí)保持不變）中出現(xiàn)。一個(gè)熟悉的例子是，當(dāng)一位溜冰者把她的手臂收起時(shí)，她的旋轉(zhuǎn)速度會(huì)加快。這是因?yàn)榭偟慕莿?dòng)量必須保持不變，而這要?dú)w功于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。

 物理規(guī)律在時(shí)間、空間和旋轉(zhuǎn)上都是對(duì)稱的。根據(jù)諾特定理，這些對(duì)稱性表明能量、動(dòng)量和角動(dòng)量是守恒的。（圖片來(lái)源：Scott Greenberg）

 在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中，沒(méi)有絕對(duì)的時(shí)間和空間，守恒定律變得更難以理解。正是這種復(fù)雜性首先將諾特帶到了這個(gè)話題上。

 引力理論的一個(gè)難題

 1915年，作為一個(gè)全新的引力理論，廣義相對(duì)論將引力描述為物質(zhì)彎曲時(shí)空的結(jié)果。除了愛(ài)因斯坦外，德國(guó)哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert）和克萊因（Felix Klein）都沉浸在新理論的奇妙世界中。希爾伯特與愛(ài)因斯坦競(jìng)爭(zhēng)，希望發(fā)展出這個(gè)復(fù)雜理論背后的數(shù)學(xué)。

 但希爾伯特和克萊因卻遇到了一個(gè)難題。他們?cè)谠噲D用廣義相對(duì)論的框架寫(xiě)一個(gè)能量守恒的方程時(shí)，遇到了一個(gè)無(wú)謂的重復(fù)：就好比寫(xiě)”0“等于”0”一樣，這個(gè)方程沒(méi)有物理意義。這個(gè)發(fā)現(xiàn)令他們感到驚訝，在這之前并沒(méi)有一個(gè)被接受的理論有這樣的能量守恒定律。他們想要弄明白為什么廣義相對(duì)論會(huì)有如此奇異的特征。

 這個(gè)時(shí)候，他們邀請(qǐng)諾特加入哥廷根，以幫助他們揭開(kāi)謎題。

 諾特發(fā)現(xiàn)，這些看似奇怪的守恒定律是一種被稱為“廣義協(xié)變”的特定類型的理論所固有的。在這樣的理論中，無(wú)論你是穩(wěn)步前進(jìn)還是瘋狂加速，與理論相關(guān)的方程都是成立的，因?yàn)槔碚摲匠痰膬蛇叾际峭阶兓?。其結(jié)果是，廣義協(xié)變理論——包括廣義相對(duì)論——總是會(huì)有這些非傳統(tǒng)的守恒定律。這一發(fā)現(xiàn)被稱為諾特第二定律。

 在她證明第二個(gè)定理的過(guò)程中，諾特證明了她的第一個(gè)定理是關(guān)于對(duì)稱性和守恒定律之間的聯(lián)系。1918年7月26日，這兩個(gè)結(jié)果被發(fā)表在G?ttinger Nachrichten 上。

 難以捉摸的伙伴

 在諾特去世后，諾特定律繼續(xù)閃耀著光芒，尤其是在粒子物理學(xué)中。要梳理出基本粒子世界發(fā)生的神秘事情是非常困難的。維爾切克說(shuō)：“我們必須依靠理論洞察力、美學(xué)和對(duì)稱性的概念來(lái)猜測(cè)事物可能是如何運(yùn)作的?！?諾特定理帶來(lái)了很大的幫助。

 在粒子物理學(xué)中，相關(guān)的對(duì)稱性是被稱為“規(guī)范對(duì)稱”的隱藏類型。物理學(xué)家在電磁學(xué)中發(fā)現(xiàn)了這種對(duì)稱性，它導(dǎo)致了電荷守恒。

 規(guī)范對(duì)稱出現(xiàn)在電壓的定義中。電壓是兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差異。電勢(shì)本身的實(shí)際值并不重要，重要的是差值。這在電勢(shì)上創(chuàng)造了一種對(duì)稱性：它的整體值可以在不影響電壓的情況下改變。這一特性解釋了為什么鳥(niǎo)站在電線上不會(huì)觸電，但如果它同時(shí)接觸到兩根電勢(shì)不同的電線，那么，悲劇將立即降臨在鳥(niǎo)的身上。

 在上個(gè)世紀(jì)60和70年代，物理學(xué)家擴(kuò)展了這一概念，發(fā)現(xiàn)了與守恒定律相關(guān)的、其它隱藏的對(duì)稱性來(lái)發(fā)展粒子物理學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型。

 在發(fā)現(xiàn)守恒定律的任何地方，物理學(xué)家都在尋找對(duì)稱性，反之亦然。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型解釋了大量的基本粒子以及它們之間的相互作用。許多物理學(xué)家都認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)模型是有史以來(lái)最成功的科學(xué)理論之一，因?yàn)樗軌蚓_地預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。然而，標(biāo)準(zhǔn)模型并不完美，還有許多問(wèn)題是它無(wú)法解釋的。

 一直以來(lái)，物理學(xué)家的目標(biāo)便是構(gòu)建一個(gè)統(tǒng)一理論，用幾個(gè)方程就可以描述萬(wàn)物，盡管這已經(jīng)被證明是非常困難的。這些統(tǒng)一理論是建立在基本對(duì)稱的假設(shè)上。什么樣的對(duì)稱性能夠統(tǒng)一基本力中的電弱力（電磁力和弱核力的統(tǒng)一）和強(qiáng)核力，物理學(xué)家還不知道。但是尋找這樣的一個(gè)“大統(tǒng)一理論”是物理學(xué)中一個(gè)活躍的領(lǐng)域。

 一個(gè)好的大統(tǒng)一理論能夠預(yù)言宇宙中的質(zhì)子和中子從何而來(lái)。質(zhì)子和中子這兩種粒子被稱為重子，重子的總數(shù)應(yīng)該是守恒的。在實(shí)驗(yàn)上，科學(xué)家尋找的是質(zhì)子是否會(huì)發(fā)生衰變。如果我們觀測(cè)到質(zhì)子衰變，那么我們就會(huì)知道重子數(shù)是否真的守恒，這是大統(tǒng)一理論的關(guān)鍵線索。

 但是，當(dāng)我們尋找超越標(biāo)準(zhǔn)模型的理論時(shí)，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種隱藏的對(duì)稱，稱為超對(duì)稱，這是許多大統(tǒng)一理論的核心。超對(duì)稱是建立在統(tǒng)一兩組主要的基本粒子的基礎(chǔ)上：費(fèi)米子（比如電子和夸克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假設(shè)所有的費(fèi)米子都有一個(gè)玻色子伙伴，反之亦然。

 對(duì)稱性是標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。圖中圓圈部分代表了標(biāo)準(zhǔn)模型中的粒子，比如光子和電子。外圍則是超對(duì)稱理論提出的假想粒子。（圖片來(lái)源：YouTube/Particle Fever）

 超對(duì)稱優(yōu)美地解決了許多標(biāo)準(zhǔn)模型無(wú)法解決的問(wèn)題，因此大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)（LHC）的首要任務(wù)便是尋找超對(duì)稱的跡象。但到目前為止，科學(xué)家還未發(fā)現(xiàn)這樣的粒子，盡管人們對(duì)探測(cè)寄予厚望，一些物理學(xué)家開(kāi)始質(zhì)疑超對(duì)稱的正確性。也許對(duì)稱性只能讓物理學(xué)家走到這一步。

 這一觀點(diǎn)讓一些物理學(xué)家左右為難。如果這不是一直以來(lái)的指導(dǎo)原則——即越對(duì)稱越好——那么指導(dǎo)原則究竟是什么？

 三維空間和二維表面

 盡管這個(gè)局面令人沮喪，但對(duì)稱性在物理學(xué)上仍然保持其光芒。諾特定理是發(fā)展量子引力的潛在理論的必要工具。量子引力理論把兩種截然不同的理論——廣義相對(duì)論和量子力學(xué)——結(jié)合在一起。諾特的工作幫助科學(xué)家理解在這樣一個(gè)統(tǒng)一的理論中可以出現(xiàn)怎樣的對(duì)稱性。

 在眾多理論中，有一個(gè)候選者依賴于兩種互補(bǔ)理論間的聯(lián)系：二維表面的量子理論可以作為三維彎曲時(shí)空中量子引力理論的全息投影。這意味著，三維宇宙中包含的信息，可以編碼到環(huán)繞它的二維表面上。

 試想一下，一瓶汽水罐的標(biāo)簽上描述了罐中每個(gè)氣泡的大小和位置，并列出了這些氣泡是如何合并和破裂的。一個(gè)好奇的研究人員可以利用罐子表面的行為來(lái)了解罐子內(nèi)部的情況，例如計(jì)算搖晃罐子時(shí)可能發(fā)生的事情。對(duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，理解一個(gè)更簡(jiǎn)單的二維理論可以幫助他們理解發(fā)生在三維物體內(nèi)部更復(fù)雜的情況。（這種全息原理（holographic principle）適用的量子引力理論被稱為弦理論，在弦理論中，粒子是通過(guò)振動(dòng)的弦來(lái)描述的。）

 在一個(gè)描述粒子二維空間行為的理論可以作為三維量子引力的全息圖。這就像僅僅通過(guò)閱讀標(biāo)簽就能研究汽水罐里面的氣泡一樣。（圖片來(lái)源：E。 OTWELL）

 物理學(xué)家Daniel Harlow說(shuō)：”諾特定理是這個(gè)故事中非常重要的一部分。“ 二維量子理論中的對(duì)稱性出現(xiàn)在不同背景下的三維量子引力理論中。通過(guò)一種令人滿意的轉(zhuǎn)換，諾特第一、第二定理被連接起來(lái)了：描述二維空間的第一個(gè)定理，與描述三維空間的第二個(gè)定理有著同樣的表述。這就好比有兩個(gè)句子，一句是中文，一句是英文，在翻譯的時(shí)候意識(shí)到它們用不同的方式表達(dá)了同一件事。

 永恒的聯(lián)系

 是的，諾特的工作徹底改變了我們理解宇宙的方式。當(dāng)你下次閱讀到關(guān)于宇宙暴脹理論、超對(duì)稱粒子、或者一切跟萬(wàn)有理論相關(guān)的進(jìn)展時(shí)，都應(yīng)該想到艾米·諾特，她的定理是所有這些理論的核心概念。

 徐一鴻在《可畏的對(duì)稱》一書(shū)中所寫(xiě)道：

 “能量、動(dòng)量和角動(dòng)量守恒是在物理學(xué)中最先學(xué)習(xí)到的定律。它們支配物理宇宙中一切物體的運(yùn)動(dòng)，從星系的碰撞到原子中電子的旋轉(zhuǎn)。曾有很多年，我沒(méi)有去問(wèn)這些守恒定律從何而來(lái)；它們好像如此基礎(chǔ)，不需要解釋了。后來(lái)我聽(tīng)到諾特的定理，印象非常深刻。這些基礎(chǔ)的守恒定律原來(lái)是基于物理在昨天、今天、明天，這里、哪里、任何地方，東、西、南、北是完全一樣的假設(shè)，就像愛(ài)因斯坦所說(shuō)，這個(gè)啟示對(duì)我而言完全是屬于精神范疇的。

 在我成為物理學(xué)家的這些年中，這一啟示屬于最難忘懷的。我一直為人類理智理解宇宙的能力所觸動(dòng)，但遇到像諾特這樣真實(shí)的遠(yuǎn)見(jiàn)也不是經(jīng)常的。這樣的遠(yuǎn)見(jiàn)使我快樂(lè)、敬畏而又感動(dòng)，因?yàn)樽鳛榻^對(duì)真理，它們即深刻又簡(jiǎn)單。但另一方面，作為物理學(xué)家，我并不認(rèn)為原子核和晶體在這樣或那樣條件下的性質(zhì)本身多么有趣。在對(duì)宇宙的唯象性的感知中，這一代人認(rèn)為有趣的，下一代人興趣就小了。這一代基礎(chǔ)物理學(xué)家已經(jīng)認(rèn)為，二十年前粒子物理的奇妙發(fā)現(xiàn)是，用愛(ài)因斯坦的話說(shuō)，‘這樣或那樣的現(xiàn)象’。但對(duì)稱性和守恒定律之間的聯(lián)系卻是永存的。”

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